- 命题框：随机初始化下 $\mathrm{Var}_\theta[\partial C/\partial\theta_j] \sim 2^{-n}$（其中 $C(\theta) = \langle 0|U^\dagger(\theta) \cdot H \cdot U(\theta)|0\rangle$）——梯度几乎处处接近零；与经典"梯度消失"不同：是整个参数空间的梯度范数集中到零附近
- 演算（shots 账，逐行）：
- $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7}$；$2^{-30} \approx 9.3 \times 10^{-10}$
- 梯度信号 $\sim \sqrt{\mathrm{Var}} = 2^{-n/2}$，单次测量噪声 $O(1)$ → 信噪比拉回 $O(1)$ 需 $O(2^n)$ 次 shots
- $n = 30$ → 约 $10^9$ 次测量——不是训练慢，是原理上不可行
- 成因一（随机深层线路，McClean 等 2018）：层数足够的硬件高效拟设逼近（近似）酉 2-设计 → $\mathrm{Var} \lesssim \mathrm{poly}(n)/4^n$（局部观测量约 $2^{-n}$）——表达力与可训练性直接对立
- 成因二（全局代价，Uvarov 等 2020）：$C_G = 1 - |\langle\psi|\phi\rangle|^2$（整体保真度）vs $C_L = 1 - (1/n) \cdot \sum_i\langle\phi|\Pi_i|\phi\rangle$（逐比特投影）；二者等价刻度 $C_L \le C_G \le n \cdot C_L$，但 $\mathrm{Var}[\partial C_G] \sim 2^{-n}$ 而 $\mathrm{Var}[\partial C_L] \sim 1/\mathrm{poly}(n)$——病根：两个随机态重叠仅 $\sim 2^{-n/2}$，微调参数改不动；启示：能用局部量就用局部量
- 成因三（噪声，Wang 等 2021）：每层衰减因子 $\eta = e^{-\epsilon}$，$\mathrm{Var} \lesssim \eta^{2L} \cdot (\text{无噪声方差}) + O((1 - \eta^L)^2/2^n)$；演算：$\epsilon = 0.01$ → $\eta = e^{-0.01} \approx 0.990$，$L = 50$ → $\eta^{100} \approx e^{-1} \approx 0.37$，$L = 100$ → $\eta^{200} \approx e^{-2} \approx 0.135$——深度每加 50 层信号项再乘 $e^{-1}$；"幸运深度"两难：深度须随 $\log(1/\epsilon)$ 增长而方差随深度指数缩水
类型definition-derivation（本课高潮，信息量最大）