承诺与 Abel 情形逐字相同：$f(x) = f(y) \iff xH = yH$（$H \le G$ 不必正规），任务是输出 $H$ 的生成元。制备群上均匀叠加、查一次 oracle 后测第二寄存器得 $f(g)$：由承诺，取该值的 $x$ 恰构成左陪集 $gH$，第一寄存器坍缩为陪集态 $|gH\rangle = \frac{1}{\sqrt{|H|}}\sum_{h \in H}|gh\rangle$。代表元 $g$ 均匀随机且测量值不记录，单次制备实得混合态 $\rho_H = \frac{1}{[G:H]}\sum_{gH}|gH\rangle\langle gH|$。演算：$G = S_3$、$H = \{e,(12)\}$ 时 $|G| = 6$、$|H| = 2$、$[G:H] = 3$，$\rho_H$ 是 3 个两两正交的秩 1 投影的等权平均，$\mathrm{tr}\,\rho_H = 3 \times \frac{1}{3} = 1$。Ettinger–Høyer–Knill 定理：任意有限群上 $\mathrm{poly}(\log|G|)$ 份 $\rho_H$ 信息论上足够唯一确定 $H$，但其最优联合测量可耗指数时间——查询多项式 $\ne$ 时间多项式，一切算法都是对 $\rho_H^{\otimes m}$ 的加工。动机：二面体群 $D_N$ 经 Regev 约化连接格最短向量问题（经典查询 $\Theta(\sqrt{N})$），图同构可编码为 $S_n \wr Z_2$ 上的 HSP。