论文一·问题：非交换 HSP 与陪集态

• 主信息：承诺与 Abelian 情形逐字相同；量子部分的全部原料是混合态 ρ_H
• 命题框：f(x)=f(y) ⟺ xH=yH（H ≤ G 不必正规）；任务 = 输出 H 的生成元
• 推导步骤：

1. 均匀叠加查 oracle：(1/√|G|) Σ_{x∈G} |x⟩|0⟩ → (1/√|G|) Σ_{x∈G} |x⟩|f(x)⟩

2. 测第二寄存器得 f(g)：由承诺，取该值的 x 恰构成左陪集 gH → 第一寄存器坍缩为陪集态 |gH⟩=(1/√|H|) Σ_{h∈H}|gh⟩

3. g 均匀随机且测量值不记录 → 单次制备实得混合态 ρ_H=(1/[G:H]) Σ_{gH}|gH⟩⟨gH|；共 [G:H]=|G|/|H| 个两两正交的陪集态，等概率出现

4. 演算：G=S₃、H={e,(12)}：|G|=6、|H|=2、[G:H]=3 → ρ_H 是 3 个正交秩 1 投影的等权平均，tr ρ_H=3×(1/3)=1 ✓

5. 记账行（Ettinger–Høyer–Knill）：任意有限群 poly(log|G|) 份 ρ_H 信息论上足够唯一确定 H，但其最优联合测量可耗指数时间；二面体隐藏反射的经典查询是 Θ(√N)

• 结果框：一切算法 = 对 ρ_H^{⊗m} 的加工；查询多项式 ≠ 时间多项式。动机一行：二面体群 D_N 经 Regev 约化连接格最短向量问题；图同构编码为 S_n≀Z₂ 上的 HSP