群 QFT $F_G|x\rangle = \sum_\sigma\sqrt{\frac{d_\sigma}{|G|}}\sum_{i,j}\sigma(x)_{ij}|\sigma, i, j\rangle$ 作用在陪集态上，用 $\sigma(gh) = \sigma(g)\sigma(h)$ 与 $\sum_h\sigma(h) = |H|\cdot\Pi_H^\sigma$ 可得每个 $\sigma$ 块的振幅矩阵正比于 $\sigma(g)\Pi_H^\sigma$，其中 $\Pi_H^\sigma = \frac{1}{|H|}\sum_{h \in H}\sigma(h)$ 是满足 $\Pi^2 = \Pi$、$\Pi^\dagger = \Pi$ 的 Hermitian 投影——信息都在，但封装在矩阵里。弱采样只测表示名，概率经 Frobenius 恒等式 $\sum_{ij}|A_{ij}|^2 = \mathrm{tr}(A^\dagger A)$ 与酉性 $\sigma(g)^\dagger\sigma(g) = I$ 把随机代表元 $g$ 整个吸收：$p(\sigma) = \frac{d_\sigma|H|}{|G|}\cdot\mathrm{rank}\,\Pi_H^\sigma$，与 $g$ 无关。演算 $S_3$、$H = \{e,(12)\}$、$|H|/|G| = 1/3$（维数验算 $1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$）：$\Pi = \frac{1}{2}(I + \sigma((12)))$ 的三个秩为 1、0、1（sgn 中对换的 $-1$ 与单位元的 $+1$ 抵消；std 中 $\sigma((12)) = \mathrm{diag}(1,-1)$，$\Pi = \mathrm{diag}(1,0)$），代入得 $p(\mathrm{triv}) = 1/3$、$p(\mathrm{sgn}) = 0$、$p(\mathrm{std}) = 2/3$，总和为 1。共轭盲区：换成 $H' = \{e,(23)\}$，三个对换互为共轭、特征标在共轭类上取常值，秩不变、分布一字不差——区分三个子群的信息只在 $\Pi^{\mathrm{std}}$ 的投影方向（三条反射轴），读方向需强采样且其分布依赖表示基。$H$ 正规时 Schur 引理迫使 $\Pi_H^\sigma \in \{0, I\}$，退回可高效求解的 annihilator 结构（Hallgren–Russell–Ta-Shma）。