论文三·思想：列子空间降维与指数分离

• 主信息：列子空间在 A 下不变 → N 维图压成 2n+2 维链、矩阵元全 Θ(1)，波包 poly(n) 走到出口
• 命题框：|j⟩_col=(1/√|C_j|)Σ_{v∈C_j}|v⟩；⟨j+1|A|j⟩_col=|E(C_j,C_{j+1})|/√(|C_j||C_{j+1}|)
• 推导步骤：

1. 不变性（Lemma 1）：A|j⟩_col=(1/√|C_j|)Σ_u deg_j(u)|u⟩；逐区域检查 deg_j(u)：左树内部 =1、右树内部 =1、焊缝 =2——同列内为常数且与随机焊接的具体排列无关 → A|j⟩_col 留在 2n+2 维列子空间

2. 树内代公式：|E(C_j,C_{j+1})|=2|C_j|=2^{j+1} → ⟨j+1|A|j⟩=2^{j+1}/√(2^j·2^{j+1})=√2（右树镜像同理）

3. 焊缝代公式：|E(C_n,C_{n+1})|=2·2^n、|C_n|=|C_{n+1}|=2^n → 2^{n+1}/2^n=2

4. 演算（n=2，N=14，六列 1,2,4,4,2,1）：⟨1|A|0⟩=2/√(1·2)=√2；⟨2|A|1⟩=4/√(2·4)=√2；⟨3|A|2⟩=8/√(4·4)=2；右树对称两跳 √2、√2 → 全部 5 个耦合 √2,√2,2,√2,√2，14×14 的 A 化成 6×6 三对角矩阵

5. 归一化抵消：列指数变大 → 每顶点振幅 1/√|C_j| 反比缩小，两个效应相消剩 Θ(1) 常数——"指数图压成常数耦合链"的机制

6. 传播：均匀链本征态 sin(jk_m)、本征值 E_m=2g·cos k_m、k_m=mπ/(L+1)（和差化积 sin((j−1)k)+sin((j+1)k)=2cos k·sin(jk)）；群速度 v=dE/dk=−2g·sin k → |v|≤2g，波包 O(n) 时间穿越 L=2n+2 链

7. 测量与实现：固定 t 可能撞上相消干涉零点 → t 从 [0,T] 均匀随机取，单次成功 ≥1/poly(n)，重复或振幅放大收尾；度 3 + 邻居 oracle = sparse access，稀疏 Hamiltonian 模拟代价 poly(n,t,log(1/ε)) → 总复杂度 poly(n)=polylog(N)

• 结果框：经典 2^{Ω(n)} vs 量子 poly(n)——首个不经 HSP/Fourier 的 oracle 指数分离；保留条款：列对称性是命脉、下界是分布承诺、oracle 须可相干调用